Пользовательского поиска

Биномиальная модель определения цены опциона Put для одного периода

Согласимся, что

где P₁ – последняя (окончательная) стоимость Put при uS;

m– число приобретаемых опционов Put;

P₂ – последняя (окончательная) стоимость Put при dS.

Примем, что портфель состоит из акций при текущем курсе S= 100; для защиты портфеля используется опцион Put с ценой исполнения E = 100; к моменту исполнения возможны лишь два альтернативных курса uS = 120, dS = 80; вероятность наступления каждого из событий одинакова. Опцион Put защищает эту разницу возможных цен (120-80).

При uS последняя стоимость Put = 0; при dS последняя стоимость

Решаем формулу (10.4) относительно т и получаем 2, т.е. если колебания цен ограничены (два значения), то два опциона Put формируют безрисковый портфель и (при равной вероятности появления одной из двух цен базиса) безрисковый портфель получает доход, равный рыночному проценту.

Обозначим: текущая цена базиса S₀, цена опциона P₀, uS = S₁, dS = S₂ и схематично представим перечисленные выше действия (рис. 10.1, см. также главу 5, рис. 5.1).

Для определения цены опциона Put (P₀) используется гипотеза безрискового портфеля (см. формулу (10.1)) и вытекающие из этого предположения формулы:

Рис. 10.1. Расчет цен опциона Put при гипотезе альтернативных цен базиса

и

где S_t – стоимость портфеля в начале периода (начальная стоимость портфеля без риска).

Примем момент t за начало периода; сохраним S₁ = 120, Ы₂ + 2Р₂ = 120, допустим S_t+1 = 120, т.е. сформируем портфели без риска; срок (длительность) опциона 90 дней; безрисковая процентная ставка – 8% в год. Следует определить цену опциона с применением формул (10.5):

117,647 = 100+2P₀;

  = 8,82 – теоретическая (справедливая) цена опциона Put.

Биномиальная модель для расчета стоимости опциона, обобщающая ранее приведенные рассуждения, выражается авторами в виде формулы

где S – стоимостное (ценовое) выражение базиса – валютного курса;

– биномиальная функция, или функция распределения в дискретном периоде;

а – наименьшее из неотрицательных целых чисел, превышающее

(здесь d – вероятное понижательное движение цен; и – вероятное повышательное движение цен);

n – число дискретных периодов до истечения срока опциона;

E – цена исполнения (валютный курс);

е – экспонента;

r – краткосрочная процентная ставка по кредитам до окончания срока опциона (процентный фактор, см. ранее);

T – время до окончания срока опциона;

(здесь r' – краткосрочная процентная ставка одного периода).

Для Call и Put при биномиальной модели возможны в любом (сколько-нибудь малом) отрезке времени только две (альтернативные) цены. Биномиальная модель для оценки опционов на активы более чем с одним периодом предполагает, что срок до исполнения может быть разделен на ряд периодов, в каждом из которых по-прежнему возможны только два изменения цен.

Цена (премия) опционов, полученная в этой модели, имеет ту же единицу измерения, что и цена базиса. Проценты соответственно пересчитываются в денежный эквивалент премии опциона.

Расчеты по биномиальной модели давно компьютеризированы.