Пользовательского поиска

Модель цены для опционов с базисом в виде фьючерса (фьючерсные опционы)

В предыдущих приложениях (5 – 8) приведены формулы цен опционов, основанные на модели Блэк – Шолза (Black – Scholes), при базисах – кассовых (наличных) инструментах.

Для цен опционов, основанных на различных фьючерсах (исключая фьючерсы, базирующиеся на экспертном суждении), принятая формула цены также непосредственно связана с классической формулой (в приложении 5 – формула (5.1)) и предстает в следующем виде:

С = Fe ^–r_f^TN(d₁^Fut) – E^Fute ^–r_f^TN(d₂^Fut ) = e ^–r_f^T [FN(d₁^Fut ) – E^FutN(d₂^Fut

при

d₂^Fut = d₁^Fut – σ√T,

где С – цена (стоимость) опциона колл (Call) (в единицах оценки фьючерсов с тем или иным базисом);

F– текущий курс (цена, стоимость) фьючерса для принятого момента времени;

E^Fut – стоимость фьючерса при исполнении опциона;

T2 – срок опциона в годах (долях года);

σ и σ²– соответственно стандартное отклонение и дисперсия, означающие изменения (колебания) цен фьючерса (в расчете на год).

Формулы расчета цен (стоимости) фьючерса даны в приложении 12.

Первое звено формулы FN(d₁) – дисконтированный ожидаемый курс фьючерса при исполнении опциона (а не фьючерса) с вероятностью, что в момент T опцион будет в деньгах, второе звено формулы E^FutN(d₂^Fut) – дисконтированная цена исполнения (в опционе) с вероятностью, что в момент T достигается ситуация в деньгах.

Формула (9.1) реализуется для европейских и американских опционов (с начислением и выплатой премии при заключении сделки).

Вариантом расчетов, позволяющим получать удовлетворительные результаты при дисконтирующем показателе, близком к единице, являются²:

Очевидно, что начисление и выплата премии при варианте (9.2) относятся ко времени исполнения опциона, т.е. используется способ (метод) Futures Style Premium Posting, при котором премия (или ее остаток) взимается при исполнении (завершении) опциона.

При оценке по формулам (9. 1), (9.2) действуют те же условия и ограничения, что и при формировании основной модели. Ежедневное выравнивание прибылей-убытков (вариационная маржа) для фьючерсов в расчет не принимается, однако при варианте (9.2) используются показатели момента исполнения. Формулы пригодны для расчетов и американского опциона.

Put-Call – паритет в европейских фьючерсных опционах видоизменяется. При расчете параметр текущей цены заменяется на дисконтированную величину курса фьючерса (Fr_f ^–T или Fe ^–r_f^T):

P = C – [Fr_f ^–T(Fe^–r_f^T) – E^Futr_f ^–T(E^Fute^–r_f^T)] = C – (F–E^Fut)r_f ^–T(e^–r_f^T).

В варианте (9.2) связь цен европейских Call, Put упрощается до

C = P + F – Е^Fut.

¹ Соответствующий расчет проводится и для дискретного дисконтирования.

² См.: Dr. Schäfer Klaus. Finaztermingeschäfte und Optionspreisteorie. – S. 216.