Пользовательского поиска

Модель цены опционов Блэк-Шолза (Black-Scholes)

Классическая формула расчета цен опционов¹, предложенная для определения справедливой цены простого европейского опциона колл (Call) на акции, такова:

● при непрерывном дисконтировании

C = SN(d₁) –Ee ^–r_f^T N(d₂)·

● при дискретном дисконтировании

при

 (для непрерывного дисконтирования),

 (для дискретного дисконтирования);

d₂ = d₁ – σ√T,

где С – цена (стоимость) опциона колл (Call);

S – текущий курс (цена) базиса;

N(d) – кумулятивное стандартное нормальное распределение вероятностей (или кумулятивная нормальная вероятность функции плотности);

d₁ и d₂ – стандартизированные нормальные переменные;

E – цена исполнения (твердый курс по соглашению) при покупке акции (в будущем);

е – экспоненциальное число (экспонента);

r_f – безрисковая процентная ставка в год (десятичная дробь);

T – срок опциона в годах (десятичных долях года) – время до момента исполнения;

σ и σ² – соответственно стандартное отклонение и дисперсия значений доходности акции за период в расчете на год (десятичная дробь).

Необходимые пояснения для элементов формулы:

в классическом виде определяется стоимость (возможная цена) простого европейского опциона на обыкновенную акцию;

при дискретном дисконтировании множителем (сомножителем) при величине E является дисконтный (дисконтирующий) множитель (1+r_f), возведенный в соответствующую степень; при непрерывном дисконтировании отрицательным показателем степени для величины е служит произведение процентной ставки (r_f)на величину T; точно так же трактуется r_f при расчете d₁ в вариантах дискретного и непрерывного дисконтирования.

T может исчисляться как количество определенных периодов в течение срока опциона;

показатели вариации исчисляются для величин стандартных измерителей изменений (колебаний) курсов акций;

N(d) представляет вероятность того, что любые случайные переменные соответствующих величин с нормальным распределением будут меньше или равны d.

В этой формуле N(d₁) интерпретируется так же, как показатель Δ (дельта) опциона (или коэффициент хеджирования).

Значения N(d₁) и N(d₂) определяются по стандартным таблицам нормального распределения и могут рассматриваться как показатели риска во время опциона;

первое звено формулы SN(d₁) – ожидаемый курс акции при исполнении опциона, ориентированный на текущие цены с вероятностью, что в момент Tэтот курс превысит цену исполнения (опцион будет в деньгах); соответственно второе звено формулы Ee ^–r_f^T (Er_f ^–TN(d₂)) – дисконтированная цена исполнения с вероятностью, что в момент T курс акции превысит эту цену;

предпочтительным является классический способ (метод) взимания премии – Traditional Style Premium Posting, состоящий в начислении и выплате премии в полном объеме покупателем при приобретении опциона.

Если отношение S к E будет велико, а вероятность исполнения опциона – близка к единице, тогда

N(d₁)≈N(d₂)≈1

и

C = S–Er_f ^–T(Ee ^–r_fT);

в обычных терминах эта формула имеет следующую версию: стоимость Call равна вложению SN(d₁) за вычетом займа в размере

Er_f ^–T(Ee ^–r_f^T)·N(d₂).