Первая теорема (закон) арксинуса: инерция тренда

 Определенные надежды дает углубленный анализ конфигурации случайных движений, позволяющий получить более детальное представление о конкретных формах и периодичности распределения исходов*.

Рассмотрим биномиальные испытания, продолжительность которых г .

Оказывается, что, например, в модели с идеальной монетой даже бесконечный рост г может не привести к равновесию числа успехов и неудач.

Не обладая предварительными знаниями в этой области, трудно себе пред ставить, что по мере возрастания величины г такое событие, как равномерное распределение исходов, становится исключительно маловероятным.

В этом, собственно говоря, и заключено содержание первой теоремы (или закона) арксинуса.

Рассмотрим ее более детально.

Если представить результаты испытаний в виде кривой случайного блуждания в пространственно-временном измерении (допустим, верхняя половина — область успеха, а нижняя — неудач), то более строгая с научной точки зрения формулировка звучит следующим образом: при фиксированной величине времени t (0 < t < 1) и числе испытаний (г), стремящемся к бесконечности, вероятность Р( к > г/2) того, что доля времени (к/г = t ), которую точка блуждания проведет в верхней (успешной) половине графика, будет меньше t , и стремится к числу, определяемому по формуле:

Выделим, в первую очередь, следующие три положения, вытекающие из данной теоремы, которые важны в практическом плане:

•       наименее вероятным является событие: доля времени, которую точка блуждания проведет на какой-то одной стороне (положи тельной или отрицательной), будет равна половине всего времени испытаний;

•       наоборот, верным является то, что наибольшую вероятность имеет событие: будут иметь место крайние значения, т.е. при к, стремящемся к г или О ;

•       чем более продолжительными будут испытания, тем необратимее станет преимущество одного исхода над другим.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с идеальной монетой достижение баланса числа успехов и неудач — событие крайне маловероятное. Наиболее вероятный исход заключается в преимуществе какой-то одной стороны. И чем выше значение г , тем это преимущество может становиться все более устойчивым.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с «идеальной» монетой достижение баланса числа «успехов» и «неудач» — событие крайне маловероятное. Наиболее вероятный исход заключается в преимуществе какой-то одной стороны. И чем выше значение г, тем это преимущество может становиться все более устойчивым.

Парадоксальность первого закона арксинуса по праву считается удивительной. Проиллюстрируем это на примере 20 испытаний, вновь воспользовавшись аналогией противостояние трейдер — рынок.

Как мы видели, согласно рассматриваемому закону, наиболее вероятным сценарием развития этого противостояния будет то, что в результате конкретной серии испытаний какая-то одна из сторон окажется везунком, а другая — неудачником.

Если сделать более точные расчеты, то вероятность для неудачника добиться хотя бы ничьей ничтожна: 0,06. Это означает, в частности, что почти определенно (вероятность 0,94) по результатам 20 бросков должен определиться победитель в данной серии. И чем больше число испытаний, тем эта вероятность выше.

Можно рассчитать и другие варианты.

Например, с вероятностью 0,35 в течение всего периода испытаний не удачник (или менее удачливый игрок) никогда не будет в выигрыше. А если и выиграет, то с вероятностью 0,54 не более одного раза.

В этом смысле можно говорить о том, что данный закон устанавливает неизбежное возникновение тренда в результатах испытаний.

Эти результаты вполне приложимы и к событиям в дополнительном измерении.

Согласно первому закону арксинуса, показатели эффективности в дополнительном измерении будет изменяться по некоторому тренду.

Народное наблюдение по поводу того, что кто-то бился, колотился, а ничего не добился, — это, в известном смысле, иллюстрация первой теоремы арксинуса, с точки зрения неудачника. Естественно, для везунка все видится иначе: Иной Ивашка живет без промашки.

Таким образом, данная теорема позволяет, так сказать, воочию увидеть, в каком конкретном виде проявляет себя та или иная предрасположенность игрока, действующего в пространстве случайных событий.

Вопрос, который возникает в этой связи: как долго такой тренд удачливости (или неудачливости) может продолжаться?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо представить механизм возникновения тренда удачливости (или неудачливости) в пространстве случайных событий.

В этих целях мы в следующем разделе обратимся к такому понятию, как инерция.