негативное математическое ожидание выигрыша

В биномиальных испытаниях негативное математическое ожидание выигрыша никак невозможно изменить в благоприятную сторону.

По выражению В. Феллера, это значит, что небезобидная игра (р < q ) не может стать безобидной (р = q ). Тем более ее нельзя сделать выигрыш ной (р > q ).

Итак, никакие манипуляции с указанными переменными не позволяют рассчитывать на положительное значение математического ожидания. Хуже того, недостижимым является даже ноль.

Таким образом, порядок применения рационального способа управления случаем может быть следующим:

• для заданного соотношения р и q проводится расчет конкретного варианта соотношения величин w и z , при котором достигается максимальное математическое ожидание (наименьшее зло).

При рациональном подходе следует для заданных р и q выбирать такие соотношения переменных w и z, которые обеспечивают наилучшее математическое ожидание.

Однако напомним, что речь идет о математическом ожидании результата при условии бесконечного числа испытаний.

В этой связи полезно рассмотреть оценки средней продолжительности игры, при которой, согласно теории вероятностей, могут быть достигнуты заранее установленные цели. И данный параметр продолжительности так же следует принимать во внимание в процессе управления.

Средняя продолжительность игры. Приведем без вывода основные форму лы оценки средней продолжительности игры для разных соотношений р и q *. 1. Для случая, когда q не равно р (р > q или р < q ) и при размере исходного капитала z , а цели w (в каждой игре ставка составляет одну условную единицу), решение уравнения приводит к формуле:

Вернемся к приведенному выше примеру 2, в котором существует положение невыгодной игры при q = 0,55 и р = 0,45 ( z = 90, w = 100 условных единиц).

Мы уже видели, что если при каждом испытании ставка будет равной одной условной единице, то вероятность разорения Q .( z ) = 0,866. Тогда вероятность выигрыша P ( z ) = 0,134.

По формуле расчета средней продолжительности игры получим, что ее математическое ожидание при этом составит:

Однако если увеличить ставку до максимальной, сделав ее равной 10 условным единицам, то соответственно получим:

И математическое ожидание продолжительности игры:

Соответствующее правило можно сформулировать так:

• чем меньше математическое ожидание продолжительности игры, тем вероятность выигрыша при невыгодном соотношении q > p становится все более благоприятной.

Чем меньше ожидаемая продолжительность «невыгодной» игры, тем лучше.

Этот расчет отвечает закону больших чисел: чем больше число испытаний, тем ближе будут результаты к математическому ожиданию вероятности успеха.

2. Для q = р действительна другая формула, которая имеет вид:

Сразу отметим, что средняя продолжительность игры оказывается значительно выше, чем это подсказывает нам здравый смысл.

Так, если q = р , то при исходном капитале z = 90 условных единиц и желании игрока довести эту сумму до w = 100:

Заметим, что при ставке в 10 условных единиц вероятность успеха весьма высока:

Однако потребуется немало времени, чтобы получить тот или иной результат (разорение или чистый выигрыш в 10 единиц).

Даже если игрок ставит столь скромную задачу, как окончательный выигрыш всего одной условной единицы ( w = z + 1), то продолжительность игры при капитале z = 90:

При этом вероятность успеха предельно благоприятна: