Математическое ожидание

 Предварительно напомним, что выше были рас смотрены такие понятия, как:

•        вероятности успеха (р) в каждом отдельном испытании;

•        наиболее вероятное число успехов к( ср);

•        вероятность определенного числа успехов Р( к/г/р).

Математическое ожидание числа успехов Е( к) является еще одним важным дополнительным понятием. Это среднее значение числа успехов, которое, согласно математическим вычислениям, ожидается по результатам серии испытаний*.

Математическое ожидание случайной величины — это синоним ее среднего значения, которое ожидается по результатам испытаний.

Подчеркнем, что в общем случае наиболее вероятное число успехов к( ср), которое определяется по максимальному значению вероятности определенного числа успехов P ( k / r / p ), отличается от математического ожидания числа успехов Е(к), хотя иногда может и совпадать.

Так, переменная величина числа успехов к может принимать значения от 1 до г. Каждому из них соответствует своя вероятность: Р (0), Р(1) ... Р( г). Тогда среднее значение числа успехов, т.е. математическое ожидание по результатам г испытаний:

Как видим, каждое из возможных значений числа успехов оказывается, так сказать, взвешенным по вероятности своего возникновения.

Для интересующего нас биномиального распределения эта формула принимает вид:

При равновероятности исходов каждого испытания (р = q = 0,5):

В данном примере математическое ожидание случайной величины к равно наиболее вероятному числу успехов к( ср). Но при неравенстве р и q та кого совпадения может и не быть.

Предположим, что некая система генерирует сигнал, который характеризуется таким соотношением: p = 0,6 Hq = i - p = 0,4. Пусть испытание заключается в двух применениях сигнала. Читатель может рассчитать самостоятельно, что наиболее вероятное значение числа успехов к( ср) = 1, при вероятности этого события Р(1) = 0,48. А математическое ожидание результата Е( к) = 1,2. Это означает, что, скажем, при 10 испытаниях (по два применения сигнала в каждом), т.е. всего 20 попыток, следует ожидать 12 успехов. При 100 двойных испытаниях — 120 успехов и т.д.

Закон больших чисел. Его смысл прост: чем больше число испытаний, тем ближе число достигнутых успехов будет к его наиболее вероятному результату, выражением которого является математическое ожидание.

Для вышеприведенного примера (р = 0,6 и q = 0,4) чем больше испытаний сигнала, тем ближе среднее значение успехов к математически ожидаемой цифре 1,2.

Научная формулировка закона звучит более мудрено, но его смысл от этого не меняется. Для интересующей нас модели это звучит так:

• если проводить N серий при г испытаниях в каждой серии, то среднее по сериям число достигаемых успехов к будет таково, что величина {(к/т) - р } устремится к 0, как только N станет увеличиваться до бесконечности.

Иногда говорят иначе:

• с возрастанием N до бесконечности вероятность того, что доля
успехов к/т отклоняется от р на сколь угодно малую величину, стремится к нулю.