формула расчета для общего случая в комбинаторике

Рассмотрим событие: г испытаний привели к суммарному числу успехов к (независимо от конфигурации их возникновения).

В комбинаторике выведена формула расчета для общего случая р и q , и мы даем ее без вывода:

Для наглядности представим некоторые расчеты по испытаниям с идеальной монетой, для которой р = q = 0,5.

Тогда можно рассчитать вероятность P ( k / r /0,5) того, что г испытаний привели к раз к успеху:

Случайная величина к имеет распределение результатов, которое называется биномиальным. Известно, что при постоянном значении г изменение

этой функции в зависимости от к имеет примерно следующий вид (см. рисунок).

Как видим, максимальному значению вероятности соответствует определенное среднее число к( ср). Его называют наиболее вероятным числом успехов.

Каждое число «успехов» при биномиальных испытаниях имеет свою вероятность появления, зависящую от соотношения значений р и q. При р = q = 0,5 наиболее вероятное значение к(ср) = г/2.

Для условия р = q = 0,5 наиболее вероятное значение числа успехов к(ср) = г/2 (при четном значении г).

Каждое число успехов при биномиальных испытаниях имеет свою вероятность появления, зависящую от соотношения значений р и q . При р = q = 0,5 наиболее вероятное значение к(ср) = г/2.

Этот результат вполне соответствует обыденным представлениям.

Можно рассчитать, что для испытаний, где г = 8 бросков монеты эта вероятностная функция будет принимать следующие значения:

Р( успехов - 0/г - 8) - i : 256;

Р (1/8) = 8/256;

Р (2/8) = 28/256;

Р (3/8) = 56/256;

Р (4/8) = 70/256;

Р (5/8) = 56/256;

Р (6/8) = 28/256;

Р (7/8) = 8/256;

Р (8/8) = 1/256.

Как видим, наиболее вероятное число успехов равно 4. А конкретное значение вероятности этого события: 70 / 256 = 0,27 (см. рисунок).

Если г = 2к (четное число испытаний), то к( ср) = г/2. Так, если г = 100, наиболее вероятное число успехов — 50.