Неограниченные портфели

В этом разделе мы увидим, что можно поднять прибыли выше линии GCML, если снять ограничение на сумму весов. Давайте вернемся к геометрическим оптимальным портфелям. Если мы попробуем составить геометрический оптимальный портфель из наших четырех рыночных систем — Toxico, Incubeast, LA Garb и сберегательного счета, то с помощью уравнений с (7.0ба) по (7.06г) найдем, что он является таковым при Е, равном 0,1688965, и V, равном 0,1688965. Среднее геометрическое такого портфеля будет равно 1,094268, а состав портфеля будет иметь вид:

Toxico                  18,89891%

Incubeast               19,50386%

LA Garb               58,58387%

Сберегательный счет       0,03014%

При решении уравнений с (7.06а) по (7.06г) необходимо использовать метод итераций, т. е. выбирать тестируемое значение для Е и решать матрицу для этого Е. Если полученное значение дисперсии больше значения Е, это означает, что тестируемое значение Е слишком высокое и в следующей попытке следует его понизить. Вы можете определить дисперсию портфеля, используя одно из уравнений с (6.06а) по (6.06г).

Повторяйте процесс, пока не будет выполняться любое из равенств с (7.06а) по (7.06г). Таким образом вы получите геометрический оптимальный портфель (отметьте, что все рассмотренные портфели на эффективной границе AHPR или на эффективной границе GHPR определяются с учетом того, что сумма весов равна 100%, или 1,00). Вспомните уравнение (6.10), используемое в первоначальной расширенной матрице для поиска оптимальных весов портфеля, уравнение отражает тот факт, что сумма весов равна 1:

(6.10)        &Х{)-1 = 0,

i=i

где         N = количество ценных бумаг, составляющих портфель;

X. = процентный вес ценной бумаги L Уравнение также можно представить следующим образом:

(?х,) = 1

i=l

Мы можем найти неограниченный оптимальный портфель, если левую часть этого уравнения приравнять к числу больше 1. Для этого добавим еще одну рыночную систему, называемую беспроцентным вкладом (non-interest-bearing cash (NIC)), в первоначальную расширенную матрицу.

Данная рыночная система будет иметь дневное среднее арифметическое HPR= 1,0, а стандартное отклонение, дисперсию и ковариацию дневных HPR равными 0. Коэффициенты корреляции NIC с любой другой рыночной системой всегда равны 0.

Теперь установим ограничение суммы весов на некоторое произвольное число, большее единицы. Хорошим первоначальным значением будет количество используемых рыночных систем (без NIC), умноженное на три. Так как мы имеем 4 рыночные системы (не учитывая NIC), то ограничим сумму весов 4*3=12.

Отметьте, что мы просто устанавливаем ограничение на произвольное значение, большее единицы. Разность между этим выбранным значением и суммой полученных весов будет весом системы NIC.

На самом деле, мы не собираемся инвестировать в NIC. Это просто дополнительная переменная, с помощью которой мы создадим матрицу для получения неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших четырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первоначальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом: х, * и,+ х2 * и2+ х3 * и3 +х4*и4+х5* и5=Е Х.+ Х-+Х.    + x,+ x=s

1   2    3        4    5

x,*covn   + x2*cov,2 + x3*cov,3 + x4*cov,4 + x5.cov, 5 + 0,5*

*L, *U,+ 0,5*L2=0

X, * cov2,   + х, * cov2 2 + x3 * cov2 з + x4 * cov2 4 + x5 * cov2 5 + 0,5 *

*L,*U2 + 0,5*L2 = 0

x, * cov3,   + x2 * cov3 2 + x3 * COV3 3 + x4 * cov3 4 + x5 * cov3 5 + 0,5 *

*L1*U3 + 0,5*L2 = 0

x,*cov4,   +x2*cov4 2 + x3*cov4 3 + x4*cov4 4 + x5*cov4 5 + 0,5*

*L,*U4 + 0,5*L2 = 0 '

неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших четырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Инвестиция        Ожидаемая прибыль в виде    Ожидаемое стандартное

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первоначальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

х, * и,+ х2 * и2+ х3 * и3 +х4*и4+х5*и5=Е х+х+х   +x+x=s

1   2    3         4    5

X, * COV,,     + X, * COV, 2 + х3 * COV, 3 + х4 * COV, 4 + Х5 * COV, 5 + 0,5 * *L, *U,+ 0,5*L2=0

X, * cov2,   + х, * cov2 2 + х3 * cov2 3 + х4 * cov2 4 + х5 * cov2 5 + 0,5 *

*L, *U2 + 0,5*L2 = 0

X, * COV3 ,   + х2 * cov3 2 + х3 * cov3 з + х4 * cov3 4 + х5 * cov3 5 + 0,5 *

*L,*U3 + 0,5*L2 = 0

X, * cov4,   + х2 * cov4 2 + х3 * cov4 3 + х4 * cov4 4 + х5 * cov4 5 + 0,5 *

*L, *U4 + 0,5*L2 = 0

X, * cov5,   + х, * cov5 2 + x3 * COV5 3 + x4 * cov5 4 + x5 * cov5 5 + 0,5 *

*L, *U5 + 0,5*L2       =0,

где        Е = ожидаемая прибыль портфеля;

S = ограничение суммы весов; COVA Б = ковариация между ценными бумагами А и Б; X. = процентный вес ценной бумаги i; U, = ожидаемая прибыль ценной бумаги i; L, = первый множитель Лагранжа; L2 = второй множитель Лагранжа. После включения NIC первоначальная расширенная матрица приобретет вид:

Отметьте, что значение на пересечении столбца ответов и второй строки, т.е. ограничение суммы весов, равно количеству рыночных систем (не включая NIC), умноженному на 3. С помощью элементарных преобразований, описанных в главе 6, получим единичную матрицу. Теперь вы можете определить эффективную границу AHPR и эффективную границу GHPR для портфеля с неограниченными весами.