Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (standard deviation) тесно связано с дисперсией (и, следовательно, со средним абсолютным отклонением). Стандартное отклонение является квадратным корнем дисперсии.

Третий момент распределения называется асимметрией (skewness), и он описывает асимметричность распределения относительно среднего значения (рисунок 3-2). В то время как первые два момента распределения имеют размерные величины (то есть те же единицы измерения, что и измеряемые параметры), асимметрия определяется таким способом, что получается безразмерной. Это просто число, которое описывает форму распределения.

Рисунок 3-2 Асимметрия

Положительное значение асимметрии означает, что хвосты больше с положительной стороны распределения, и наоборот. Совершенно симметричное распределение имеет нулевую асимметрию.

В симметричном распределении среднее, медиана и мода имеют одинаковое значение. Однако когда распределение имеет ненулевое значение асимметрии, оно может принять вид, показанный на рисунке 3-3. Для асимметричного распределения (любого распределения с ненулевой асимметрией) верно равенство:

(3.08)   Среднее - Мода = 3 * (Среднее - Медиана)

Есть много способов для расчета асимметрии, и они часто дают различные ответы. Ниже мы рассмотрим несколько вариантов:

(3.9)            S == (Среднее - Мода) / Стандартное отклонение

(3.10)        S = (3 * (Среднее - Медиана)) / Стандартное отклонение

Уравнения (3.09) и (3.10) дают нам первый и второй коэффициенты асимметрии Пирсона. Асимметрия также часто определяется следующим образом:

N

(3.11)       S = l/NX(((Xi-A)/D)A3),

i=l

где S = асимметрия;

N = общее число точек данных;

Х = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

D = стандартное отклонение значений точек данных.

И наконец, четвертый момент распределения, эксцесс (kurtosis) (см. рисунок 3-4), измеряет, насколько у распределения плоская или острая форма (по сравнению с нормальным распределением). Как и асимметрия, это безразмерная величина. Кривая, менее остроконечная, чем нормальная, имеет эксцесс отрицательный, а кривая, более остроконечная, чем нормальная, имеет эксцесс положительный. Когда пик кривой такой же, как и у кривой нормального распределения, эксцесс равен нулю, и мы будем говорить, что это распределение с нормальным эксцессом. Как и предыдущие моменты, эксцесс имеет несколько способов расчета. Наиболее распространенными являются:

где   К = эксцесс;

Q == семи-интерквартильная широта; Р = широта перцентиля 10-90.

(3.13)    К = (1 / N (Z (((X - А) / D)A 4))) - 3,

где   К = эксцесс;

N = общее число точек данных;

Х = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

D = стандартное отклонение значений точек данных.

Наконец, необходимо отметить, что «теория», связанная с моментами распределения, намного серьезнее, чем то, что представлено здесь. Для более глубокого понимания вам следует просмотреть книги по статистике, упомянутые в списке рекомендованной литературы. Для наших задач изложенного выше вполне достаточно. До настоящего момента рассматривалось распределение данных в общем виде. Теперь мы изучим нормальное распределение.