Как уже отмечалось выше, информация о дивидендах может
быть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) как
абсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос определения премии опциона для первого варианта.
Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывно
начисляемый дивиденд. Соответственно ставка дивиденда представляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставка
дивиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то для
расчетных целей можно использовать ее среднюю величину в расчете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падение
курса акции на величину дивиденда. Сравним динамику роста
курсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В конце
этого периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на вторую — не выплачивается. Тогда мы можем сказать, что темп
прироста курсовой стоимости первой акции ниже на величину q
или что темп прироста курсовой стоимости второй акции будет
выше на величину q.
Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд,
равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же,
сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в начале
периода стоит S e-qT . Поэтому можно сделать вывод о том, что
европейский опцион для первой и второй акции должен иметь
одинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы Блэка-
Сколеса для оценки премии европейских опционов. Данные формулы применимы и для опционов на акции, выплачивающие
дивиденд, с той только разницей, что место S займет величина
S e-qT
d1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего преобразования:
Этот результат впервые получил Мертон.
Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере дивиденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимость
дивиденда, а значение ? принимается как стандартное отклонение
чистой цены акции. Полученные цифры подставляются в формулы
Блэка-Сколеса.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
В моделях оценки премии опционов используется техника фор-
мирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дисконтирования применять ставку без риска, так как портфель, не
несущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.
Премию американских опционов рассчитывают с помощью биноминальной модели. Суть ее состоит в том, что время опционного
контракта разбивают на малые интервалы и строят с учетом вероятности дерево распределения курсовой стоимости акции. Определив премию опциона перед датой истечения контракта,
последовательным дисконтированием под ставку без риска находят значение цены опциона для каждой точки пересечения дерева
распределения и таким образом рассчитывают величину премии в
момент заключения контракта. Если в период действия опциона
на акцию выплачиваются дивиденды, то при 1) наличии информации о ставке дивиденда курсовую стоимость акции в момент выплаты дохода уменьшают на величину ставки дивиденда; 2) когда
имеются данные об абсолютной величине дивиденда, чистую стоимость акции для каждого узла дерева распределения корректируют на приведенную стоимость дивиденда.
Премия европейских опционов и американского опциона колл
рассчитывается с помощью формул Блэка-Сколеса. В модели принимается посылка, что цена актива имеет логнормальное распределение.
В качестве показателя, характеризующего скорость движения
рынка, используют стандартное отклонение цены актива. Оно говорит о степени разброса значений цены актива относительно ее
средней величины и о вероятности цены актива перешагнуть через
цену исполнения в течение действия опционного контракта. Для
расчетных целей используют историческое стандартное отклонение. Из аналитических формул можно вычислить внутреннее стандартное отклонение опциона. При определении исторического
стандартного отклонения используют два метода. Первый состоит
в том, что в качестве переменной величины принимают отношение
изменения цены к ее предыдущему значению. Второй метод — в
качестве переменной использует логарифм отношения последующей цены к предыдущей.
