Пример. Инвестор приобретает опцион пут на три месяца, курс
акции в момент заключения контракта равен 40 долл., цена исполнения 45 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%,
стандартное отклонение акции — 35%. Определить стоимость
опциона.
Через три месяца в точке Su3 величина премии опциона будет
равняться нулю. В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.
В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.
В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.
Цена опциона в начале периода ?t3, то есть для точек Su2, S, Sd2
представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемой
цены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущего
отрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины определяется как ее математическое ожидание. Поэтому цену опциона
в начале периода ?t можно определить по формуле
цена опциона = (Мх) е-r?T
где Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены оп-
циона в конце периода ?t на их вероятность.
Найдем цену опциона в точке Su2. Она равна:
(0,5163 ? 0 + 0,4837 ? 0,75) е-0,1?0,0833 = 0,36 долл.
Для точки S она составит:
(0,5163 ? 0,75 + 0,4837 ? 8,84) е-0,1?0,0833 = 4,62 долл. и т.д.
Цена опциона для каждой точки на дереве распределения представлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премия
опциона в начале периода Гравна 5 долл.
Выше мы определили премию для европейского опциона пут.
Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичный
по своим условиям американский опцион. Как известно, досрочное исполнение контракта может явиться оптимальным решением. Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели это
конец каждого периода ?t) его цена должна быть не меньше, чем X
- Р. Дерево распределения цены акции и премии американского
опциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точке
Su2. Согласно расчету она составляет 0,36 долл. Однако в случае
исполнения опциона в данный момент он будет стоить:
45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.
Естественно, что в этот момент времени исполнение опциона
не является оптимальной стратегией и инвестору следует продать
опцион или подождать еще некоторый период времени. Следовательно, его цена в указанной точке равна полученной расчетной
величине, то есть 0,36 долл.
Для точки S (начало периода ?t3) расчетная цена равна 4,62
долл., однако в случае его исполнения в этот момент инвестор
получит прибыль, которая составит:
45 долл. - 40 долл. = 5 долл.
Следовательно, при таком развитии событий американский опцион будет стоить не 4,62 долл, а 5 долл. и его оптимально исполнить. Для точки Sd2 премия опциона должна быть не меньше чем:
45 долл. - 32,68 долл. = 12,32 долл.
Для точки Sd при немедленном исполнении опцион стоит:
45 долл. -36,1бдолл.= 8,84долл.
Его расчетная цена составляет:
(0,5163 ? 5,0 + 0,4837 ? 12,32) е-0,1?0,0833 =8,47 долл.
Следовательно, он должен стоить не меньше 8,84 долл.
В точке Su при немедленном исполнении опцион стоит:
45 долл. - 44,25 долл. = 0,75 долл.
Однако расчеты показывают, что в этом случае исполнение не
является оптимальной стратегией и цена опциона должна составить не 0,75 долл., а
(0,5163 ? 0,36 + 0,4837 ? 5,0) е-0,1?0,0833 = 2,58 долл
В итоге получаем — цена американского опциона пут в момент
заключения контракта равна 5,56 долл.
Мы рассмотрели биноминальную модель оценки премии опциона для акций, не выплачивающих дивиденды. В нашем примере
весь период опционного контракта, который насчитывал три месяца, был разбит на три периода. На практике для определения
цены опциона период Т необходимо разбить на большее число
периодов ?t. Обычно деление опционного контракта на 30-50
интервалов дает приемлемый результат.
