Простая биноминальная модель оценки премии опционов
Используем рассмотренный принцип для оценки премии опциона применительно к простой биноминальной модели, то есть
модели, когда значение опциона и курса акций рассматривается
только в начале и конце некоторого периода времени Т. Предположим, выписывается европейский опцион колл на 5 месяцев с
ценой исполнения 36 долл. В момент заключения контракта цена
акций равна 33 долл. Непрерывно начисляемая ставка без риска
10%. На основе своих расчетов инвестор определил, что курс акций
к моменту истечения контракта может составить 34 долл. или 38
долл. Необходимо оценить премию опциона.
Если ко времени окончания контракта курс акций составит 34
долл., стоимость опциона будет равна нулю. Если цена возрастет
до 38 долл., то премия составит 2 долл. Предположим, инвестор
формирует портфель без риска, приобретая п акций и продавая
один опцион. Данный портфель не будет нести риск, если в конце
периода Т его стоимость окажется одинаковой, независимо от
реальной динамики курса акций.
При Р= 34 долл. стоимость портфеля составит 34 п долл. При Р
= 38 долл. она будет равняться 38 п долл. — 2 долл. Чтобы сформировать портфель без риска, инвестор должен купить такое число
акций, которое бы удовлетворяло уравнению:
34 п долл. = 38 n долл. - 2 долл.
Решая уравнение, получаем п = 0,5 акций. В этом случае портфель и при первом и при втором сценарии развития событий через
5 месяцев будет стоить 17 долл. Стоимость портфеля в момент
заключения контракта составит:
33 долл. ?0,5 - cе = 16,5 долл. - cе
Портфель без риска должен приносить инвестору доход, равный
ставке без риска. Поэтому стоимость портфеля в начале периода Т
должна соответствовать его дисконтированной стоимости через 5
месяцев, то есть:
16,5 долл.- се = 17 долл.е -0,1х0,4167=16,31 долл.
Тогда
се =0,19 долл.
В рассмотренном примере премия опциона зависела в конечном
итоге от тех значении, которые могла принять цена акций к моменту истечения опциона. Поэтому для построения «рабочей модели», которую можно было бы использовать на практике,
необходимо ввести в нее элемент вероятностной оценки. Данная
задача решается с помощью построения биноминальной модели,
которую впервые предложили Дж. Кокс, С. Росс и М. Рубинштейн.
Биноминальная модель используется для оценки премии американских опционов, однако для простоты изложения мы рассмотрим ее вначале применительно к европейскому опциону и после
этого скорректируем относительно американского опциона.
