Ознакомившись с формулами, на основании которых оцениваются опционы и управляются опционные позиции, читатель приобретет психологическую уверенность, поскольку отсутствие пробелов в знаниях поможет избежать грубых ошибок в торговле. Но работа на финансовых рынках — это искусство, которое складывается из многих компонентов, лишь одним из которых является знание финансовой математики. Поэтому, хотя психологически важно ознакомиться с формулами, на которых базируются опционы, большинство практиков согласится, что знание формул не является необходимой составляющей успеха.
1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ. ВЫВЕДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ОПЦИОНА КОЛ
Начнем с рассмотрения стандартного европейского опциона кол (call). Это контракт, дающий владельцу право в определенный момент времени купить определенный актив по определенной цене (цене исполнения).
Опционный контракт является правом, но не обязательством для его владельца. Поэтому, если владелец опциона считает, что исполнение опциона по оговоренной в контракте цене убыточно для него, он может контракт не исполнять. В этом случае не исполненный опционный контракт истечет.
Цену опциона (С) в настоящий момент определяют:
Т — время, оставшееся до исполнения опциона (time to maturity);
S — цена спот актива в настоящий момент (spot price);
Единицей измерения времени (Т) является год. Если до исполнения опциона осталось D дней, то Т вычисляется по формуле:
Т = D / 365
Модель Блэка-Шолца была первой моделью для оценки опционов. Она использует в качестве базового актива акции. Модель предполагает, что в момент исполнения опциона цена актива является логнор-мальной случайной величиной, т.е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение довольно точно описывает реальные данные и позволяет в текущий момент оценить стоимость актива в будущем. В частности, исходя из него можно найти среднее значение цены актива и вероятность ДАЯ нее подняться выше определенного уровня.
Для выведения формулы цены опциона Блэк, Шолц и Мертон вывели формулу стоимости акции. Она зависит от времени, оставшегося до исполнения опциона, цены базового актива в настоящий момент, непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки, а также еще одного параметра — волатильности актива.
Цена актива с большей волатильностью подвержена большим изменениям, нежели цена актива с меньшей волатильностью. В реальной жизни волатильность актива меняется в разные моменты времени, однако в данной модели мы считаем ее постоянной на протяжении всего срока действия опциона.
В момент исполнения опциона возможны две ситуации:
S(T) > К, т.е. цена базового актива выше цены исполнения — в таком случае прибыль от исполнения опциона равна S(T) - К [актив покупается по цене К, а затем немедленно продается по текущей цене S(T)].
S(T) ^ К, т.е. цена базового актива ниже цены исполнения — тогда исполнять опцион не имеет смысла, поскольку не дороже будет
Вначале рассмотрим акции без начисления дивидендов.
Пусть годовая волатильность а некоторой акции AAA равна 20%, ее стоимость сегодня равна $100. На основе этих данных можно спрогнозировать, что, с вероятностью 0,66, через один год цепа акции окажется в промежутке $100 X (1 - 0,2) -$100 X (1 + 0,2) или $80-120. Можно прогнозировать и поведение цены акции через другие промежутки времени. Для этого надо определить волатильнооь акции на этот промежуток. Например, с, wi = сгх \3 месяца/1 год = о"Х Vl),25 = стХ 0,5 = 10%. Те через три месяца цена акции с вероятностью 0,66 окажется в интервале $90-110.
купить актив по текущей цене. Прибыль от исполнения в этом случае равна 0. Следовательно, прибыль от исполнения опциона составляет
Max[0,S(T) - К]1 Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени составляет:
max[0, S(T)-K]xerT,
где е~гТ — дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Возможная прибыль равна внутренней стоимости, умноженной на дисконтный фактор.
Поскольку цена актива — случайная величина, то цена опциона в настоящий момент времени или текущая премия равняется математическому ожиданию возможной прибыли:
С = Е{е"гТ х max[0, S(T) - К)])
После подстановки вместо S(T) логнормальной случайной величины и проведения математических выкладок, связанных с вычислением математического ожидания, мы получаем формулу Блэка-Шолца для европейского опциона кол на акцию без начисления дивидендов:
С = S х N(dl) - К х е-гТх N(d2)
Здесь N(x) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины; ее можно определить из таблицы стандартного нормального распределения.
Величины dl и d2 находятся из следующих равенств:
dl = [ln(S / К) + (г + а2/2) х Т] / [а х л/Т]; d2 = [ln(S / К) + (г - а2/2) х Т] / [а х VT] = dl - а х VT N(d2) — вероятность того, что опцион будет исполнен, тогда:
К х е_гТ х N(d2) — дисконтированные средние ожидаемые затраты по исполнению опциона;
S х N(dl) — дисконтированное среднее ожидаемое значение цены акции в момент исполнения опциона.
Таким образом, первое и второе слагаемые исходят из ваших средних ожидаемых доходов и расходов при исполнении опциона.
Параметры цены опциона
Влияние на модель фактора дивидендов
Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл
